2015年普通高中学生学业水平模拟考试
数 学
第I卷
一．选择题:（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 若集合 ， ，则 等于 ( )
A. B. C. D.
2.已知角 的终边经过点 ，则 的值为 （ ）
A. B. C. D.
3.直线 与直线 垂直，则直线 的斜率为 ( )
A．33 B．－33 C．3 D．－3
4.定义域为R的四个函数 中，奇函数的个数为 （ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
5.甲、乙两人下棋，甲获胜概率为 ﹪,甲不输的概率为 ﹪ ，则甲、乙下成和棋的概为 ( )
A. ﹪ B. ﹪ C. ﹪ D. ﹪
6．某几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是 ( )
（第6题图）
A．三棱锥 B．四棱锥 C．四棱台 D．三棱台
7.若 ，则 的最大值是 （ ）
A. B. C. 1 D. 2
8．如图所示，算法流程图的输出结果为 ( )
（第8题图）
A. 34 B. 16 C. 1112 D． 2524
9.下列大小关系正确的是 ( )
A. > > B. > >
C. > > D. > >
10.某校高二年级8个班参加合唱比赛的得分如面茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数为 ( )
(第10题图)
A．91.5和 91.5 B．91.5和92
C．91和91.5 D．92和92
11．如图，正方形 中，点 是 的中点，点 是 的一个三等分点，那么 为 ( )
A. B.
C. D.
（第11题图）
12.设方程 的解的个数为 ，则 不可能等于 （ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
第II卷
二.填空题:（本大题共4小题,每小题3分,共12分,把答案填在答卷卡的相应位置上）
13. 的值是_____________;
14．已知向量a=(3,4), 向量b=(2, ),若a b，则实数 的值是____________;
15. 已知 的三个内角 所对的边分别为 ，且 ，则角 的值是____________;
16.设 ，在约束条件 下，目标函数 的最大值为4，则 的值是_______________.
三.解答题：(本大题共5小题,共52分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)
已知 的三个内角 所对的边分别为 ， , ，
，求 .
18. (本小题满分10分)
已知在四面体 中， , ,试在 上确定一点 ,使得
,并证明你的结论.
（第18题图）
19. (本小题满分10分)
对某个品牌的U盘进行寿命追踪调查，所得情况如下面频率分布直方图所示.
（1）图中纵坐标 处刻度不清，根据图表所提供的数据还原 ；
（2）根据图表的数据按分层抽样，抽取 个U盘，寿命为10 30万次之间的应抽取几个；
（3）从（2）中抽出的寿命落在10 30万次之间的元件中任取 个元件，求事件“恰好有一个寿命为10 20万次,，一个寿命为20 30万次”的概率.
(第19题图)
20. (本小题满分10分)
数列 的前 项和为 ,且 ( N+).
（1） 判断数列 是什么数列？
（2） 求数列 的前 项和 .
21.（本小题满分12分）
已知圆C： ( ∈R)的圆心在直线 上.
（1）求实数 的值;
（2）求圆C与直线 ： ( ∈R)相交弦长的最小值．
学业水平测试模拟试卷答案
数学
说明：
一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．
二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．
一．选择题
（1）A； （2）B； （3）D； （4）C； （5）D； （6）B；
（7）B； （8）C； （9）C； （10）A ； （11）D； (12) D．
二．填空题
（13） ； （14） ； （15） ； （16）3．
三.解答题
17.解：根据正弦定理 ,
得 ，
10分
18.证明：取 的中点
在 中，
，
同理可证，在 中，
10分
19. 解：（1）
3分
（2）10~30万次之间的U盘所占频率为
设10~30万次之间的U盘应抽取 个， ， 6分
（3）10~20万次应抽取 个，设为 ，
20~30万次应抽取 个，设为 ，
寿命落在10 30万次之间的元件中任取 个元件，一切可能结果组成的基本事件空间为
“抽取的两个U盘恰好有一个寿命为10 20万次,，一个寿命为20 30万次”为事件 ， , . 10分
20.解：(1)当 时， ，解得 ，
当 时， ，得 ，所以 ，
所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列. 4分
(2)由（1）知： ，所以
-得
10分
21.解：（1）圆C的方程可化为 ，将圆心坐标（1, ）代入直线方程 中，得 4分
(2)∵直线l的方程可化为(2x＋y－7)m＋(x＋y－4)＝0(m∈R)．
∴l恒过2x＋y－7＝0x＋y－4＝0的交点M(3,1)． 8分
由圆的性质可知，当l⊥CM时，弦长最短．
又|CM|＝(3－1)2＋(1－2)2＝5，
∴弦长为l＝2r2－|CM|2＝225－5＝45. 12分
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